Динамiчнi процеси в тiлах (матерiалах) з початковими напруженнями. Частина 2. Плоскi динамiчнi контактнi задачi для пiвплощини з початковими напруженнями

Abstract

В данiй статтi дослiдженi динамiчнi контактнi задачi для пiвплощини з початко- вими напруженнями на основi введених комплексних потенцiалiв для плоских дина- мiчних задач у випадку стисливих i нестисливих тiл з початковими напруженнями (окремо для рiвних i нерiвних коренiв характеристичного рiвняння) одержанi пред- ставлення напружень i перемiщень через гармонiчнi функцiї своїх аргументiв. Данi представлення введенi коли жорсткий штамп рухається прямолiнiйно вздовж границi пiвплощини з рiвномiрною швидкiстю. Останнє дає змогу звести дану динамiчну за- дачу до стацiонарної в рухомiй системi координат. В результатi граничних переходiв у випадку вiдсутностi початкових напружень одержанi комплекснi потенцiали пере- ходять у вiдомi комплекснi потенцiали Галiна Л. А., Мусхелiшвiлi М. I. i Лехницько- го Л. Г. Данi динамiчнi задачi зведенi до задачi Рiмана - Гiльберта. Якщо штамп руха- ється без тертя, то з врахуванням формули Келдиша-Седова одержали явнi формули для обчислення контактного тиску, який залежить вiд початкових напружень. Крiм цього, в роботi розглянутi задачi про розповсюдження поверхневих хвиль вздовж пiв- простору з початковими напруженнями. Остання задача розв’язується за допомогою комплексних потенцiалiв. Результати повнiстю спiвпадають з тими, якi були одержанi одним з авторiв статтi ранiше. В роботi встановленi критичнi параметри коефiцiєнтiв подовжень для потенцiалiв Трелоара i Бортенєва-Хазановича при яких наступають явища “резонансного характеру”. Як граничний випадок для “резонансного ефекту” дiстаємо, що при досягненнi початковими напруженнями значень, якi вiдповiдають

поверхневiй нестiйкостi, компоненти напружено-деформованого стану прямують до нескiнченостi. У цьому випадку тiло буде знаходитись у станi “нейтральної рiвнова- ги ”. Тому з iнженерної точки зору ситуацiя, коли швидкiсть поверхневих хвиль Релея у тiла з початковими напруженнями є необмеженою. Ключовi слова: початковi напруження, характеристичнi рiвняння, пружний потен- цiал, поверхневi хвилi, контактна задача, жорсткий штамп.

поверхневiй нестiйкостi, компоненти напружено-деформованого стану прямують до нескiнченостi. У цьому випадку тiло буде знаходитись у станi “нейтральної рiвнова- ги ”. Тому з iнженерної точки зору ситуацiя, коли швидкiсть поверхневих хвиль Релея у тiла з початковими напруженнями є необмеженою. Ключовi слова: початковi напруження, характеристичнi рiвняння, пружний потен- цiал, поверхневi хвилi, контактна задача, жорсткий штамп.

The dynamic contact problems for a half-plane with initial stresses on the basis of introduced complex potentials for plane dynamic problems in the case of compressible and incompressible bodies with initial stresses (separately for equal and unequal roots of a characteristic equation), the obtained representations of stresses and displacements through the harmonic functions of their arguments have been investigated in the article. These representations are introduced when the load is applied through a rigid stamp and moves rectilinearly along the boundary of the half-plane at a uniform velocity. The latter makes it possible to reduce this dynamic problem to a stationary one in a moving coordinate system. As a result of boundary transitions in the absence of initial stresses, the obtained complex potentials pass into the known complex potentials Galin L.A, Muskhelishvili M.I. and Lekhnytsky L.G. These dynamic problems are reduced to the Riemann-Hilbert problem. If the stamp moves without friction, then taking into account the Keldysh-Sedov formula we obtain explicit formulas for calculating the contact pressure, which depends on the initial stresses. Additionally, the problems of propagation of surface waves along a half-plane with initial stresses have also been considered in the article. The latter problem is solved with the help of complex potentials. The results are exactly the same as those obtained earlier by one of the authors of the article. The critical parameters of elongation coefficients for Treloir and Bortnev-Khazanovich potentials at which “resonant nature” phenomena occur have been established in the article.

As a limiting case for the “resonance effect”, we get that when the initial stresses reach values corresponding to the surface instability, the components of the stress-strain state go to infinity. In this case, the body will be in a state of "neutral equilibrium". Thus, the Rayleigh surface waves in bodies with initial stresses are unlimited. Keywords: Initial stresses, characteristic equations, elastic potential, surface waves, con- tact problem, rigid stamp.