Структура сигнатурного кубу булевих алгебр

Abstract

Дана робота є продовженням дослiджень, розпочатих в [1], у яких теорiя буле- вих функцiй розглядається з точки зору унiверсальних алгебр. У цiй роботi описано клас функцiонально неповних алгебр, проведено дослiдження основних типiв алгебр i розташування їх по ярусах сигнатурного кубу. У даних дослiдженнях унiверсальнi булевi алгебри утворюють 11-мiрний сигнатурний куб, до складу якого входять 2048 алгебр. Запропоновано нумерацiю (кодифiкацiю) цих алгебр. Вводиться поняття сумi- жних, граничних, внутрiшнiх класiв функцiонально повних i функцiонально неповних алгебр. Булевi алгебри дослiджуваного класу M подiляють на чотири пiдкласи: клас вну- трiшнiх функцiонально неповних алгебр, клас граничних функцiонально неповних ал- гебр, клас граничних функцiонально повних алгебр, клас внутрiшнiх функцiонально повних алгебр. У данiй роботi пропонується алгоритм знаходження граничних фун- кцiонально повних алгебр на основi розширення сигнатури функцiонально неповних алгебр булевими операцiями. Побудованi пiдкласи граничних алгебр для кожної з оди- надцяти операцiй. Вказано iзоморфiзм графiв деяких класiв граничних алгебр. На основi об’єднання графiв отримали Ω-граф граничних функцiонально повних алгебр. Ключовi слова: сигнатурний куб, граничнi алгебри.

This paper is a continuation of the research distributed in [1], the theory of Boolean functions is considered from the point of view of universal algebras. This paper describes a class of functionally incomplete algebras, studies the main types of algebras and their location on the tiers of the signature cube. In the data of researches of universal Boolean algebras the 11-dimensional signal cube according to which 2048 algebras enter is created. Codification of these algebras has been offered. The notion of adjacent, boundary, and in- ternal classes of functionally superficial and functionally incomplete algebras is introduced. Boolean algebras of the class M are divided into four subclasses: a class of internal functionally incomplete algebras, a class of boundary functionally incomplete algebras, a class of boundary functionally superficial algebras, a class of internal functionally com- plete algebras. In this paper, an algorithm is proposed for finding boundary functionally complete algebras based on the expansion of signals of functionally incomplete algebras by Boolean operations. Subclasses of boundary algebras have been constructed for each of the eleven operations. The isomorphism of graphs of some classes of boundary algebras has been indicated. Ω-graph of boundary functionally complete algebras was obtained on the basis of combining graphs. Keywords: signature cube, boundary algebras.