Стоячi хвилi в дискретних рiвняннях типу Клейна-Ґордона зi степеневими нелiнiйностями

Abstract

Дана стаття присвячена вивченню дискретних рiвнянь типу Клейна-Ґордона, якi описують динамiку нескiнченного ланцюга лiнiйно зв’язаних нелiнiйних осциляторiв. Цi рiвняння представляють собою зчисленну систему звичайних диференцiальних рiв- нянь. Такi системи є нескiнченновимiрними гамiльтоновими системами. Розглядаю- ться рiвняння типу Клейна-Ґордона зi степеневими нелiнiйностями непарного степе- ня. При пiдстановцi анзаца у виглядi стоячої хвилi одержується система алгебраїчних рiвнянь для амплiтуди стоячої хвилi. Далi розглядається система з бiльш загальним оператором 𝐿 лiнiйної взаємодiї осциляторiв, який є обмеженим i самоспряженим у гiльбертовому просторi дiйсних двохстороннiх послiдовностей 𝑙2. Розглядається зада- ча про iснування перiодичних i локалiзованих (збiгаються до нуля на нескiнченностi) розв’язкiв для таких систем. Основними умовами iснування цих розв’язкiв є просторо- ва перiодичнiсть коефiцiєнтiв оператора лiнiйної взаємодiї осциляторiв та належнiсть частоти стоячої хвилi спектральному промiжку оператора 𝐿. Якщо правий кiнець спе- ктрального промiжка скiнченний, то система має нетривiальнi розв’язки. У цiй статтi показано, що перiодичнi i локалiзованi розв’язки цiєї системи можна побудувати як критичнi точки вiдповiдних функцiоналiв 𝐽𝑘 та 𝐽. Iснування перiодичних розв’язкiв встановлено за допомогою теореми про зачеплення. Зокрема, показано, що функцiонал 𝐽𝑘 задовольняє так звану умову Пале-Смейла та геометрiю зачеплення, а отже, має не- тривiальнi критичнi точки. Останнi i є перiодичними розв’язками системи. У випадку локалiзованих розв’язкiв використати теорему про зачеплення не можна, оскiльки для функцiоналу 𝐽 не виконується умова Пале-Смейла. Тому у цьому випадку використа- но метод перiодичних апроксимацiй, тобто критичнi точки функцiоналу 𝐽 будуються за допомогою граничного переходу при 𝑘 → ∞ в критичних точках функцiоналу 𝐽𝑘. В силу вiдомих властивостей дискретного оператора Лапласа одержано наслiдок, в якому встановлено умови iснування локалiзованих розв’язкiв для вихiдної системи. Ключовi слова: дискретнi рiвняння типу Клейна-Ґордона, стоячi хвилi, степеневi нелiнiйностi, критичнi точки, теорема про зачеплення, перiодичнi апроксимацiї.

This article is devoted to the study of discrete Klein-Gordon type equations that describe the dynamics of an infinite chain of linearly coupled nonlinear oscillators. These equations represent a countable system of ordinary differential equations. Such systems are infinite-dimensional Hamiltonian systems. Equations of the Klein-Gordon type with power nonlinearities of odd degree are considered. When substituting the ansatz in the form of a standing wave, a system of algebraic equations for the amplitude of the standing wave is obtained. Further, we consider a system with a more general operator 𝐿 of linear interaction of oscillators, which is bounded and self-adjoint in the Hilbert space of real two-sided sequences 𝑙2. The problem of the existence of periodic and localized (converging to zero at infinity) solutions for such systems is considered. The main conditions for the existence of these solutions are the spatial periodicity of the coefficients of the linear interaction operator of the oscillators and the belonging of the standing wave frequency to the spectral interval of the operator 𝐿. If the right end of the spectral interval is finite, then the system has nontrivial solutions. This article shows that periodic and localized solutions of this system can be constructed as critical points of the corresponding functionals 𝐽𝑘 and 𝐽. The existence of periodic solutions was established using the linking theorem. In particular, it is shown that the functional 𝐽𝑘 satisfies the so-called Palais-Smale condition and the linking geometry, and therefore has nontrivial critical points, which are the periodic solutions of the system. In the case of localized solutions, the linking theorem cannot be used, since the Palais-Smale condition does not hold for the functional 𝐽. Therefore, in this case, the method of periodic approximations is used, that is, the critical points of the functional 𝐽 are constructed using the passage to the limit as 𝑘 → ∞ at the critical points of the functional 𝐽𝑘. By virtue of the well-known properties of the discrete Laplace operator, a corollary is obtained in which conditions for the existence of localized solutions for the original system are established. Keywords: discrete Klein-Gordon type equations, standing waves, power nonlinearities, critical points, linking theorem, periodic approximations. References