Гранична теорема для точкових процесiв пов’язаних з узагальненою задачею про днi народження

Abstract

У роботi доведено граничну теорему для послiдовностi точкових процесiв, якi опи- сують моменти (𝑟 + 1)-х надходжень рiзних типiв з загальної кiлькостi в 𝑛 типiв в узагальненiй задачi про днi народження. Класична задача про днi народження, вiдо- ма з популярної лiтератури, вiдповiдає параметрам 𝑟 = 1 (достатньо одного збiгу) та 𝑛 = 365 (кiлькiсть днiв у невисокосному роцi). Доведення базується на застосуваннi технiки пуассонiзацiї/депуассонiзацiї. Цей результат далi використовується для про- стого доведення деяких класичних граничних теорем у задачi про днi народження, якi фактично описують асимптотичну поведiнку рiзних змiстовних функцiоналiв вiд побудованих процесiв. Ключовi слова: задача про днi народження, точковий процес, гранична теорема, груба збiжнiсть, процес Пуассона, пуассонiзацiя, депуассонiзацiя, теорема про непе- рервне вiдображення.

We prove a limit theorem for the sequence of point processes, which describe the moments of (𝑟 + 1)-th arrivals of different types out of the total number of 𝑛 types in the generalized birthday problem. The classic birthday problem, known from popular literature, corresponds to the parameters 𝑟 = 1 (one match is enough) and 𝑛 = 365 (the number of days in a common year). The proof is based on an application of the poissonization/ depoissonization technique. This result is further used to simply prove some classic limit theorems in the birthday problem, which actually describe the asymptotic behavior of various meaningful functionals of the constructed processes. Keywords: birthday problem, point process, limit theorem, vague convergence, Poisson process, poissonization, depoissonization, continuous mapping theorem.