Комбiнаторнi характеристики категорiї зображень напiвгрупи S0(22)

Abstract

Напiвгрупи третього порядку вперше описав у 1953 р. Т. Тамура, а згодом, у 1955 р., за допомогою комп’ютерної програми Г. Е. Форсайт (в термiнах таблиць Келi з точ- нiстю до iзоморфiзму та антиiзоморфiзму). Мiнiмальнi системи твiрних та вiдповiднi визначальнi спiввiдношення для всiх таких напiвгруп побудованi першим автором ра- зом з Я. В. Зацiхою (2013 р.). Це дало їм змогу, використовуючи методи Київської школи з теорiї матричних задач, описати матричнi зображення всiх напiвгруп тре- тього порядку над довiльним полем (2018 р.). Вони також описали зображувальний тип напiвгруп третього порядку (серед них немає диких) i вказали канонiчну форму матричних зображень для напiвгруп скiнченного зображувального типу (тобто таких, якi мають, з точнiстю до еквiвалентностi, скiнченне число нерозкладних зображень). Автори цiєї статтi продовжили дослiдження в даному напрямку, детально вивча- ючи природнi наднапiвгрупи напiвгруп третього порядку (тобто таких, якi мають фактор-напiвгрупу, iзоморфну напiвгрупi третього порядку), особливу увагу придiля- чи їхнiм матричним зображенням. Описується зображувальний тип нових напiвгруп (серед яких вже зустрiчаються i дикi), дослiджуються алгебри Ауслендера (як одна iз форм задання категорiй зображень) та iдейно пов’язанi з ними Σ-функцiї, тощо. Зокрема, автори описали зображувальний тип стандартних наднапiвгруп напiвгрупи третього порядку, породженої двома взаємно анульовними 2-нiльпотентним i 2-по- тентним (iдемпотентним) елементами, тобто комутативної напiвгрупи (0, 𝑏, 𝑐) = ⟨𝑏, 𝑐⟩ : 𝑏2 = 0, 𝑐2 = 𝑐, 𝑏𝑐 = 𝑐𝑏 = 0 (в круглих дужках вказано всi елементи напiвгрупи, а в кутових дужках — мiнiмальну систему твiрних; потiм вказано визначальнi спiввiдношення). Серед таких наднапiв- груп видiляється напiвгрупа 𝑆0 (22) як найменша серед напiвгруп 𝑆0 (𝑚𝑛) := (0, 𝑏, 𝑐) = ⟨𝑏, 𝑐⟩ : 𝑏𝑚 = 0, 𝑐𝑛 = 𝑐, 𝑏𝑐 = 0.де 𝑚, 𝑛 ≥ 2. Напiвгрупа 𝑆0 (22) є “промiжною” мiж вказаною вище комутативною напiв- групою та ручною напiвгрупою, породженою 2-нiльпотентним i 2-потентним елемен- тами без додаткових визначальних спiввiдношень. Напiвгрупа 𝑆0 (22) має скiнченний зображувальний тип i її нерозкладнi зображення описанi авторами ранiше. У цiй статтi вивчаються комбiнаторнi властивостi її катего- рiї матричних зображень.