Асимптотична поведiнка розв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь загального вигляду збурених за допомогою вiнерiвського процесу

Abstract

У роботi доведено граничну теорему про асимптотичну поведiнку розв’язкiв лiнiй- них стохастичних диференцiальних рiвняння. Рiвняння цього типу є узагальненням багатьох моделей, що широко використовуються у задачах фiнансової математики. Доведення базується на застосуваннi технiки розробленої в роботах Й. I. Гiхмана та А. В. Скорохода для автономних стохастичних диференцiальних рiвнянь. Знайдено умови, за яких асимптотична поведiнка розв’язку лiнiйного стохастичного диферен- цiального рiвняння визначається невипадковою функцiєю. Наведено приклади симу- ляцiй за допомогою метода Ейлера-Маруями. Ключовi слова: стохастичне диференцiальне рiвняння, лiнiйне стохастичне дифе- ренцiальне рiвняння, асимптотичнi властивостi розв’язкiв, моделювання стохастичних диференцiальних рiвнянь, метод Ейлера-Маруями.

The limit theorem on the asymptotic behavior of the solution of a linear stochastic differential equation of the general form is proved. The method is based on the application of the technique developed in the work by Y. I. Gihman and A. V. Skorokhoda for autonomous stochastic differential equations. The conditions under which the solution of a linear stochastic differential equation is approximated by a non-random function have been found. Examples of simulations using the Euler-Murayama method are given. Keywords: stochastic differential equation, linear stochastic differential equation, asymptotic properties of solutions, modeling of stochastic differential equations, the Euler- Maruyama method.