The coefficients of transitivity of the posets Minimax isomorphic to the sypercritical Non-primitive poset

Abstract

The representations of partially ordered sets (abbreviated as posets), introduced by L. A. Nazarova and A. V. Roiter (in matrix form) in 1972, play an important role in the modern representation theory and its applications. After Yu. A. Drozd proved in 1974 that a poset 𝑆 has finite representation type if and only if its Tits quadratic form 𝑞𝑆(𝑧) =: 𝑧20 +Σ︁𝑖∈𝑆𝑧2𝑖 +Σ︁𝑖<𝑗,𝑖,𝑗∈𝑆𝑧𝑖𝑧𝑗 − Σ︁𝑖∈𝑆𝑧𝑖is weakly positive (i.e., positive on the set of non-negative vectors), but not enough to be positive as for quivers, problems related to the positive and also non-negative Tits quadratic form began to be of great interest from various points of view. In this paper we continue to study combinatorial properties of posets that are minimal with non-negative Tits quadratic form.

Коефiцiєнти транзитивностi частково впорядкованих множин мiнiмаксно iзоморфних суперкритичнiй непримiтивнiй множинi. Зображення частково впорядкованих (скорочено ч. в.) множин, якi введенi Л. А. Назаровою i А. В. Ройтером (в матричнiй формi) в 1972 р., вiдiграють важливу роль в сучаснiй теорiї зображень. Пiсля того, як Ю. А. Дрозд у 1974 р. довiв, що ч. в. множина 𝑆 має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли її квадратична форма Тiтса 𝑞𝑆(𝑧) =: 𝑧20 +Σ︁𝑖∈𝑆𝑧2𝑖 +Σ︁𝑖<𝑗,𝑖,𝑗∈𝑆𝑧𝑖𝑧𝑗− 𝑧0Σ︁𝑖∈𝑆𝑧𝑖 є слабко додатною (тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв), але недосить, щоб додатною як для сагайдакiв, задачi, пов’язанi з додатними, а також невiд’ємними, квадратичними формами Тiтса стали цiкавими з рiзних точок зору. У цiй статтi ми продовжуємо вивчати комбiнаторнi властивостi ч. в. множин, що є мiнiмальними, для яких квадратична форма Тiтса не є невiд’ємною.