Розширені бінарні коди Голея за груповою алгеброю групи C3 x D8

Abstract

Бiнарнi коди Голея вивчалися довгий перiод i було встановлено багато рiзних конструкцiй для їх побудови, а також з’ясовано багато властивостей цих кодiв. У статтi розглянуто побудову розширених бiнарних кодiв Голея за головними iдеалами (лiвими) груповою алгеброю F2(𝐶3×𝐷8) групи 𝐶3×𝐷8 порядку 24 над полем з двох елементiв F2. Розглядається дiя регулярного зображення 𝑣 → 𝜎(𝑣) на елементах 𝑣 групової алгебри. Рядки матрицi 𝜎(𝑣) породжують лiнiйний бiнарний код 𝐶(𝑣). У попереднiх дослiдженнях з’ясовано кiлькiсть всiх елементiв 𝑣 групової алгебри F2𝐺 скiнченних груп (𝐶6×𝐶2)⋊𝐶2 та 𝐷24 таких, що бiнарний код 𝐶(𝑣) є розширеним бiнарним кодом Голея. Ранiше таким способом розширений бiнарний код Голея будувався за одним елементом 𝑣 ∈ F2𝐺, що 𝑣 = 𝑣*. В результатi числових обчислень знайдено всi 12 288 елементiв 𝑣 ∈ F2(𝐶3 × 𝐷8), за якими можна побудувати розширений бiнарний код Голея, серед яких 128 задовольняє умову 𝑣 = 𝑣*.

Binary Golay codes have been studied for a prolonged period of time and many different structures of their construction have been established as well as a certain amount of their properties has been revealed. In the article the construction of extended binary Golay has been considered according to the principle ideals (left) of the group algebra F2(𝐶3 × 𝐷8) of the group 𝐶3 ×𝐷8 of order 24 over a field of two elements F2. The action of the regular representation 𝑣 → 𝜎(𝑣) on the elements 𝑣 of the group algebra is considered. The rows of the matrix 𝜎(𝑣) generate a linear binary code 𝐶(𝑣). In preceding studies, the number of all elements 𝑣 of the group algebra F2𝐺 of finite groups (𝐶6 ×𝐶2)⋊𝐶2 and 𝐷24 such that the binary code 𝐶(𝑣) is an extended binary Golay code was established. Previously, in this way the extended binary Golay code was built on one element 𝑣 ∈ F2𝐺, which 𝑣 = 𝑣*. As a result of numerical calculations, all the 12 288 elements of 𝑣 ∈ F2(𝐶3 × 𝐷8) were found, on which the extended binary Golay codes can be constructed. Among them 128 satisfy the condition 𝑣 = 𝑣*.