Classification of the posets of MM -type being the symmetric oversupercritical poset of order 9

Abstract

Зображення ч. в. множин (частково впорядкованих множин) над полем ввели Л. А. Назарова i А. В. Ройтер в 1972 р., i перший автор був одним iз тих, хто брав активну участь у розвитку вiдповiдної теорiї. Першим критерiєм у нiй був отриманий М. М. Клейнером критерiй скiнченностi зображувального типу. У 1992 р. вiн довiв, що ч. в. множина S має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли во-ни не мiстить повних ч. в. пiдмножин вигляду K1 = (1, 1, 1, 1), K2 = (2, 2, 2), K3 = (1, 3, 3), K4 = (1, 2, 5) і K5 = (N, 4). Цi ч. в. множин називаються критичними ч. в. множинами (щодо скiнченностi типу) в тому сенсi, що це мiнiмальнi ч. в. множин з нескiнченною кiлькiстю нерозкладних зображень, з точнiстю до еквiвалентностi). Тепер їх також називають ч. в. множинами Клейнера. У 1974 р. Ю. А. Дрозд довiв, що ч. в. множина S має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли її квадратична форма Тiтса є слабко додатною (тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв). Отже, ч. в. множини Клейнера є також критичними щодо слабкої додатностi квадратичної фор-ми Тiтса. У 2005 р. автори довели що ч. в. множин є критичною щодо додатностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона є мiнiмаксно iзоморфна деякiй ч. в. множинi Клейнера.

Подiбну ситуацiю маємо з ч. в. множинами ручного зображувального типу. У 1975 р. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множина S є ручною тодi i лише тодi, коли вона не мiстить ч. в. пiдмножин вигляду N1 = (1, 1, 1, 1, 1), N2 = (1, 1, 1, 2), N3 = (2, 2, 3), N4 = (1, 3, 4), N5 = (1, 2, 6) і (N, 5). Отже, цi ч. в. множини є критичними щодо ручного зображувального типу i вона назвала їх суперкритичними; вони є також критичними щодо слабкої невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса. У 2009 роцi автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона мiнiмаксно iзоморфна деякiй суперкритичнiй ч. в. множинi. Перший автор запропонував ввести ч. в. множини (названi надсуперкритичними), якi вiдрiзняються вiд суперкритичних ч. в. множин в тiй же мiрi, що суперкритичнi вiдрiзняються вiд критичних. У попереднiх статтях автори описали (з точнiстю до iзоморфiзму) всi ч. в. множини, мiнiмаксно iзоморфнi довiльнiй надсуперкритичнiй множинi, окрiм (1,4,4), i вивчили деякi їхнi комбiнаторнi властивостi. У цiй статтi розглядається випадок ч. в. множини (1, 4, 4).

Representations of posets were introduced by L. A. Nazarova and A. V. Roiter in 1972, and the first author was one of those who took an active part in the development of the relevant theory. The first criterion in it was the criterion on finiteness of the rep-resentation types obtained by M. M. Kleiner. In 1992 he proved that a posets 𝑆 is of finite representation type if and only if it does not contain full subposets of the form 𝐾1 = (1, 1, 1, 1), 𝐾2 = (2, 2, 2), 𝐾3 = (1, 3, 3), 𝐾4 = (1, 2, 5) and 𝐾5 = (N, 4). These posets are called critical posets (relative to the finiteness of type) in the sense that they are mini-mal posets with an infinite number, up to equivalence, of indecomposable representations. Now they are called the Kleiner’s posets. In 1974, Yu. A. Drozd proved that a poset 𝑆 has finite representation type if and only if its Tits quadratic form s weakly positive (i.e., positive on the set of non-negative vectors). Consequently, the Kleiner’s posets are also critical relative to weak positivity of the Tits quadratic form. In 2005, the authors proved that a poset is critical relative to the positivity of the Tits quadratic form if and only if it is minimax isomorphic to a Kleiner’s poset. A similar situation takes place for posets of tame representation type. In 1975, L. A. Na-zarova proved that a poset 𝑆 is tame if and only if it does not contain full subsets of the form 𝑁1 = (1, 1, 1, 1, 1), 𝑁2 = (1, 1, 1, 2), 𝑁3 = (2, 2, 3), 𝑁4 = (1, 3, 4), 𝑁5 = (1, 2, 6) and (N, 5). So these posets are critical relative to the tameness and she called them supercritical. They are also critical relative to weak non-negativity of the Tits quadratic form. In 2009, the authors proved that a poset is critical relative to non-negativity of the Tits quadratic form if and only if it is minimax isomorphic to a supercritical poset. The first author suggested to introduce posets (called oversupercritical) which differ from the supercritical posets to the same extent as the supercritical posets differ from the critical ones. In previous papers, the authors described all posets that are minimax isomorphic to any oversupercritical poset except (1, 4, 4) and studied some of their combinatorial prop-erties. The case of the poset (1, 4, 4) is considered in this paper.