Структура sl2-модулів на дiаграмах Юнга

Abstract

В роботi встановлено явний вигляд трiйки лiнiйних операторiв (̂︀ 𝐷−, ̂︀ 𝐷0, ̂︀ 𝐷+), якi визначають дiю алгебри Лi sl2 на векторному просторi QY𝑛 дiаграм Юнга, що вiдповiдають розбиттям 𝜆 довжини 𝑛: ̂︀ 𝐷 −(𝜆) = −(𝑛𝜉−(𝜆) + ∇−(𝜆)), ̂︀ 𝐷 0(𝜆) = 2|𝜆|𝜆, ̂︀ 𝐷 +(𝜆) = ∇+(𝜆), де 𝜉−(𝜆) та ∇±(𝜆) є сумами за всiма можливими дiаграмами Юнга, отриманими додаванням або вилученням клiтинки □ з вiдповiдної дiаграми Юнга. Iдея доведення полягала у введенi на QY𝑛 структури алгебри, iзоморфнiй алгебрi симетричних многочленiв вiд 𝑛 змiнних; визначення дiї sl2 на многочленах Шура i в перенесеннi цiєї дiї на QY𝑛.

This paper establishes the explicit form of derivatives (̂︀ 𝐷−, ̂︀ 𝐷0, ̂︀ 𝐷+) that define the action of the Lie algebra sl2 on the vector space QY𝑛 of Young diagrams corresponding to partitions 𝜆 of length 𝑛: ̂︀ 𝐷 −(𝜆) = −(𝑛𝜉−(𝜆) + ∇−(𝜆)), ̂︀ 𝐷 0(𝜆) = 2|𝜆|𝜆, ̂︀ 𝐷 +(𝜆) = ∇+(𝜆), where 𝜉−(𝜆) and ∇±(𝜆) are sums over all possible Young diagrams obtained by adding or removing a cell □ from the corresponding Young diagram. The proof involves introducing an algebra structure on QY𝑛 isomorphic to the algebra of symmetric polynomials in 𝑛 variables, defining the sl2 action on Schur polynomials, and transferring this action to QY𝑛.