Представлення розв'язку крайової періодичної задачі для гіперболічного рівняння другого порядку

Abstract

Для крайової 2π-перiодичної задачi utt − uxx = g(x, t), u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t + 2π) = u(x, t), 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R, встановлено, що єдиний класичний розв’язок може iснувати у виглядi u(x, t) = u 0 (x, t) + ˜u(x, t), де u 0 (x, t)− розв’язок вiдповiдної однорiдної перiодичної задачi, а u˜(x, t)− частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння такий, що u˜(x, t+ 2π) = ˜u(x, t), у двох випадках: 1) u(x, t) = ˜u(x, t), u0 (x, t) ≡ 0; 2) u(x, t) = u 0 (x, t) + ˜u(x, t), u0 (x, t) 6= 0.

For boundary-value 2π-periodic problem utt−uxx = g(x, t), u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t+2π) = u(x, t), 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R, we established that unique classical solution may be in form u(x, t) = u 0 (x, t) + ˜u(x, t), where u 0 (x, t)− is a solution of the corresponding homogeneous periodic problem and ˜u(x, t)− is a partial solution of the non-homogeneous equation such as ˜u(x, t + 2π) = ˜u(x, t), in the two cases: 1) u(x, t) = ˜u(x, t), u0 (x, t) ≡ 0; 2)u(x, t) = u 0 (x, t) + ˜u(x, t), u0 (x, t) 6= 0.