Гомоморфiзми матричних груп та кiлець над асоцiативними кiльцями

Abstract

У статтi з єдиних позицiй описанi груповi гомоморфiзми матричних груп i кiльцевi гомоморфiзми матричних кiлець над асоцiативними кiльцями з 1. Показано, що опис гомоморфiзмiв матричних груп E (n, R) ⊆ G ⊆ GL (n, R), n ≥ 2 у групу автоморфiзмiв GL (W ) лiвого (необов’язково вiльного) K-модуля W над до- вiльним асоцiативним кiльцем K з 1 зводиться до випадкiв, коли 2 або 3 – оборотнi елементи в кiльцi K. Доведено, що вони допускають стандартний опис гомоморфiзмiв групи елементарних трансвекцiй E (n, R), якщо такий опис допускають гомоморфiзми матричних груп над кiльцями K, в яких 2 або 3 є оборотними елементами. Також описано кiльцевi гомоморфiзми Λ : Rn → EndW , n ≥ 2 лiвого (необов’язково вiльного) K-модуля W над довiльним асоцiативним кiльцем K з 1. Показано, що го- моморфiзми Λ допускають стандартний опис на кiльцi Rn. Ключовi слова: асоцiативнi кiльця з 1, груповi гомоморфiзми матричних груп, кiль- рфiзми кiлець матриць, формальнi матрицi, стандартний опис.

In the article from the same positions group homomorphisms of matrix groups and ring homomorphisms of matrix rings over associative rings with 1 are described. It is shown that the description of homomorphisms of matrix groups E (n, R) ⊆ G ⊆ GL (n, R), n ≥ 2 into the group of automorphisms GL (W ) of the left (optionally free) K -module W over an arbitrary associative ring K with 1 is reduced to cases where 2 or 3 are reversible elements in the ring K. It is proved that they allow a standard description of homomorphisms of the group of elementary transvections E (n, R), if such a descripti- on allows homomorphisms of matrix groups over rings K, in which 2 or 3 are reversible elements. The ring homomorphisms are also described Λ : Rn → EndW , n ≥ 2 of the left (optionally free) K -module W over an arbitrary associative ring K with 1. It is shown that homomorphisms Λ allow a standard description on the ring Rn. Keywords: associative rings with 1, group homomorphisms of matrix groups, ring homo- morphisms of matrix rings, formal matrices, standard description.